Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тет­ра­эд­ре SABC с реб­ром 24 точка P при­над­ле­жит SC так, что SC : PC = 2 : 1 и AS:AM = 2: 1, CN: BN =1:3. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра плос­ко­стью MNP.

1) 18 плюс 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та
2) 27 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та
3) 18 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та
4) 81 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
5) 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­стро­им се­че­ние плос­ко­стью. Про­ве­дем пря­мую PN, она пе­ре­се­чет ребро BS в точке K. Далее про­ве­дем KM. В плос­ко­сти ABC про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную KM через точку N. Она пе­ре­се­чет ребро AC в точке R. Про­ве­дем MR. Тра­пе­ция NKMR  — ис­ко­мое се­че­ние. Най­дем ее сто­ро­ны.

По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка SBC:

дробь: чис­ли­тель: SK, зна­ме­на­тель: KB конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BN, зна­ме­на­тель: NC конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CP, зна­ме­на­тель: PS конец дроби =1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 24 минус x конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =1 рав­но­силь­но x=12,

то есть точка K  — се­ре­ди­на BS. Тогда по­лу­ча­ем, что KM па­рал­лель­но BA и равно 12, как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASB. Более того, NR так же па­рал­лель­но BA и равно 6 по тео­ре­ме о про­пор­ци­о­наль­ных от­рез­ках. Таким об­ра­зом, тра­пе­ция NKMR  — рав­но­бед­рен­ная, най­дем ее бо­ко­вую сто­ро­ну по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

KN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 в квад­ра­те плюс 18 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 18 умно­жить на 12 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та =6 ко­рень из 7 .

Най­дем вы­со­ту тра­пе­ции по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 умно­жить на 7 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: KM минус NR, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =9 ко­рень из 3 .

Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна

S= дробь: чис­ли­тель: NR плюс KM, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на h=81 ко­рень из 3 .

Ответ: 81 ко­рень из 3 .


Аналоги к заданию № 1141: 1171 1201 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2018
Сложность: II
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­мы Чевы, Ме­не­лая, Ван-Обеля
Классификатор стереометрии: 5\.1\. Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Тет­ра­эдр
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025